Voiman momentti
Kuvastaa voiman vääntövaikutusta ja määritellään yhtälöllä M = Fr yksikkönä [Nm]. Pyörimisen suunta on positiivinen kun mennään vastapäivään ja negatiivinen kun mennään myötäpäivään (muisti: nurinpäin).
Eli suora on aina suoraan laskettavissa, eli voima menee tässä kohtisuorassa vipuun nähden.
Kun taas tässä momentti on nolla. Koska voima osoittaa suoraan momenttipisteeseen.
Vino voima voidaan laskea piirtämällä jatkeet, josta lasketaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa
r = r(sin65)
tai sitten jakamalla komponentteihin ja kertomalla voima suoraan sin65:lla, jossa lasketaan myös x-suuntainen komponentti mutta tässä tapauksessa se on nolla.
Sekä työntävässä voimassa sama homma mutta siis nyt työnnetään toiseen suuntaan joten saadaan momentiksi negatiivisia arvoja:
Staattinen tasapainoJäykkä kappale on tasapainossa kun se täyttää seuraavat ehdot:
Esimerkki:
Paljonko pitäis olla ruukun massa?
Yksinkertaiset mekaniikan koneetYksinkertaisilla mekaniikan koneilla voidaan muuttaa voiman suuruutta ja suuntaa. Näitä ovat mm. Kalteva taso, se mikä voimassa voitetaan se matkassa menetetään Vipu, jolla voidaan siirtää kuormia (yksi- ja kaksivartiset). Väkipyörä, josta kiinteä väkipyörä muuttaa voiman suuntaa ja liikkuvien pyörien avulla voidaan voiman suuntaa muuttaa. Vintturi, jossa on kaksi saman akselin ympäri pyörivää rumpua ja kampi.
VipuKuormaa siirrettäessä vipuun kohdistuu kaksi voimaa F1 ja F2. Yksivartisessa vivussa voimat ovat samalla puolella ja kaksivartisessa vivussa voimat ovat eripuolilla.
VäkipyöräKiinteä väkipyörä muuttaa voiman suuntaa mutta ei suuruutta, kun taas liikkvuilla pyörillä saadaan kuorman nostamiseen tarvittavaa voimaa pienennettyä. W = Fzs = FLh.
Kuorma kevenee lenkkien mukaan seuraavanlaisesti:
Vintturissa on kaksi saman akselin päällä kaksi rumpua tai kampea. Tasapainoehto määräytyy joko energiaperiaatteella tai vipuna. F2r2 = F1r1
Hauislihas esimerkki:
Eli tässä olisi nyt se haulis. Siinä on punnus, johon vaikuttaa painovoima F, sekä kyynärvarren oma paino G. Käsivarsi pysyy vaakasuorassa hauislihaksen FL avulla. Mikä olisi hauiksen voima eli jos se kuvitellaan naruksi, niin T-voima?
F1r1 + Gr½ = FL
F1r1 + Gr½ - FL = 0
siitä lasketaan FL voima
Pääkallo esimerkki:
Pääkallo on kiinnittyneenä selkärankaan kallonpohjasta, niin tämä alue aiheuttaa sen että se on kaksivartinen vipu. Tässä kysytään että kuinka suurella voimalla niskalihakset jännittää jotta pää pysyy tasapainossa?
FL r1 = G r2
PainopistePainovoima voidaan ajatella kohdistuvan yhteen pisteeseen kappaleessa, eli painopiste tai massakeskipiste. Painopisteestä tuettu kappale on tasapainossa ja vapaasti liikkuva kappale pyörii painopisteensä ympäri (homogeenisessa kappaleessa symmetriakeskipisteessä). Jos on epäsymmetrinen kappale, niin painopistettä lähdetään määrittämään jakamalla kappale osiin ja laatimalla sopiva koordinaatisto, joihin voidaan laittaa osien painopisteet. Näistä yhteensä voidaan määrittää missä painpiste on. Esimerkiksi jos kolme kappaletta on asetettu xy-koordinaatistoon seuraavanlaisesti : A=5kg (0,0m ja 0,0m) B=2kg (2,0m ja 4,0m) sekä C=5kg (4,0m ja 0,0m) niin missä on painopisteen sijainti?
Ratkaisu: lasketaan x:n suhteen kertomalla kaikki koordinaatit massalla ja jakamalla yhteismassalla. Sen jälkeen y:n suhteen sama. Saadaan painopisteen koordinaatit:
TasapainolajitStabili tasapaino on vakaa ja stabiilia jossa potentiaalienergia pienimmillään. Kun kappaletta poikkeutetaan niin se palaa tasapainoasemaan. Kuin taas labiilissa tasapainossa on horjuva tasapaino, jossa potentiaalienergia on suurimmillaan ja jos kappaletta poikkeutetaan tasapainostaan, niin se lähtee etääntymään eikä palaa .
Lisäksi on indifferentti tasapaino eli epämääräinen tasapaino, jossa potentiaalienergia ei muutu, kun kappaletta poikkeutetaan tasapainoasemastaan.
KulmasuureetKiertokulma
Kaaren pituuden suhde säteeteen yksikkönään radiaani [ φ ] = rad eli 1 rad on sellainen kulma jonka vastaava kaari on säteen mittainen.
Keskikulmanopeus
Kiertokulman muutosnopeus on kulmanopeus [ω]=rad/s ja se vastaa liikkeen nopeutta v. Pyörimisliike on tasaista jos kulmanopeus on vakio.
Kierrosten lukumääräPyörimisen nopeutta usein ilmaistaan tällä yksiköllä eli tietty lukumäärää ajassa. Sanotaan myös kierrostaajuudeksi, pyörimistaajuudeksi tai kierrosnopeudeksi n.
Kulmanopeus
Kulmakiihtyvyys
Mikäli kulmanopeus ei ole vakio, niin pyörimisellä on tällöin kiihtyvyyttä. Kulmakiihtyvyys 𝛼 vastaa kiihtyvyyttä a ja pyörimisliike on tasaisesti kiihtyvää jos kulmakiihtyvyys on vakio.
Elikä se menisi niin että rataa pitkin kuljettu matka saadaan kun muistetaan että s=vt, mut vt:n tilalle laitetaan fii*r. Eli muista kaava fii = s(kehämatka) / r(säde). Ratanopeus saadaan sijoittamalla v=s/t yhtälöön edellisessä veivattu fii*r. Kun muistat että kulmanopeus omega on fii/t:lle niin t:t supistuu pois ja jää v=ɷr. Ja tangentiaalinen kiihtyvyys alla.
Etenemisliikessä voima aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen, kuin taas pyörimisliikkeessä momentti aiheuttaa liiketilan muutoksen. Eli näitä kinematiikan suureita tarkasteltaiessa ne vastaavat toisiaan seuraavasti: matka s = kiertokulma ᵠ, nopeus v = ω ja kiihtyvyys a=α. Kun taas dynamiikassa voimaa F vastaa momentti M ja massaa m vastaa hitausmomentti J. Massa on suure joka kuvastaa liikkeen hitautta vastustavaa ominaisuutta. Hitausmomentti on suure joka kuvastaa pyörimisen hitautta eli pyörimistä vastustavaa ominaisuutta.
Eli edellinen oli tangentiaalista kiihtyvyyttä, mutta lisäksi pitää tietää pyörimisliikkeen kiihtyvyys eli NORMAALIkiihtyvyys ja siihen vaikuttava voima, jolla kiihtyvyyttä kasvatetaan.
Tasainen ympyräliike
Tasainen kiihtyvä ympyräliike
OPETTELE ed NÄMÄ ULKOA
Kokonaiskiihtyvyys on tangenttikiihtyvyyden ja normaalikiihtyvyyden vektroi summa eli Phytagoraan lause ja yllätys yllätys suunta saadaan tangentilla
Hitausmomentti
Eli massa jaetaan osiin ja jokainen niistä kerrotaan pyörimisakselista mitatulla säteen nelilöllä ja nämä summataan. Yksikkönä kgm^2. Eli hitausmomentti huomioi massan lisäksi myös etäisyyden. Hitausmomentin suuruus riippuu pyörimisakselin paikasta.
Hitausmomentteja lasketaan erilailla erilaisille kappaleille esim:
Steinerin sääntö
Steinerin sääntö on yhdensuuntaisten akselien teoreema. Olkoon kappaleen (massa m) hitausmomentti painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen J0. Tällöin voidaan laskea hitausmomentti J minkä tahansa akselin suhteen mikä on yhdensuuntainen tämän painopisteen kautta kulkevan akselin kanssa, kaavalla.
Esimerkki Steinerin säännöstä:
Tunnetaan sauvan (pituus l) hitausmomentti sen pyöriessä painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen. TEE TÄMÄ ESIMERKKI OPEN VIDEOISTA
Pyörimisen liikeyhtälö, voima ja momentin tekemä työEtenevässä liikkeessä voima F antaa kappaleelle lineaarisen kiihtyvyyden a Newton II mukaan. Pyörimisliikkeessä vastaavasti momentti antaa pyörivälle kappaleelle kulmakiihtyvyyden alfa. Kun jäykkä kappale pyörii vääntömomentin vaikutuksesta, niin
momenttien summa on kappaleen hitausmomentti J kertaa kulmakiihtyvyys eli ja liike-ener
gia on.
Voiman F tekemä työ kappaleen matkalla s. joka jatkuu että momentin M tekemä työ eli
Teho P tasaisessa pyörimisliikkeessä on
Suoraviivaisen ja ympyräliikkeen yhteys taulukot:
Eli matkaa s vastaa kiertokulma fii jne..
Tehtävä jarrusatula painaa pyörää
Yhteenveto liikkeistä
GravitaatioEtäisyydellä r olevat massa m vetävät toisiaan puoleensa voimalla F, joka on suoraan verrannollinen massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.
Gravitaatiolaki:
Jos kappale, joka on maanpinnalla, niin siihen vaikuttava gravitaatiovoima on painovoiman suuruinen.
Potentiaali energia määritellään perustutulla kaavalla mgh, mutta mitä jos tarkkaa putoamiskiihtyvyyden arvoa ei ole, niin sitten pitää käyttääkkin seuraavanlaista kaavaa:
, jossa potentiaalienergian nollataso on äärettömän kaukana maasta ja kun liikutaan maasta poispäin, niin gravitaation potentiaalienergia kasvaa. Eli laskut kuuluu tällä tavalla, että jos siirretään kappale yhdestä korkeudesta toiseen korkeuteen, niin paljonko sen potentiaalienergia kasvaa:
HeittoliikePystysuora heittoliike
Tälläisessä heittoliikkeessä kappale on kokoajan tasaisesti muuttuvassa liikkeessä kiihtyvyytenä putoamiskiihtyvyys. Valitaan negatiivinen suunta alaspäin. Muista energiaperiaate.
Vino heittoliike
Jaetaan vaakasuuntaiseen tasaiseen liikkeeseen joka on vakio (v) ja pystysuuntaiseen muuttuvaan liikkeeseen, jonka kiihtyvyyttä säätelee painovoima (a=g).
Eli suora on aina suoraan laskettavissa, eli voima menee tässä kohtisuorassa vipuun nähden.
Kun taas tässä momentti on nolla. Koska voima osoittaa suoraan momenttipisteeseen.
Vino voima voidaan laskea piirtämällä jatkeet, josta lasketaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa
r = r(sin65)
tai sitten jakamalla komponentteihin ja kertomalla voima suoraan sin65:lla, jossa lasketaan myös x-suuntainen komponentti mutta tässä tapauksessa se on nolla.
Sekä työntävässä voimassa sama homma mutta siis nyt työnnetään toiseen suuntaan joten saadaan momentiksi negatiivisia arvoja:
Staattinen tasapainoJäykkä kappale on tasapainossa kun se täyttää seuraavat ehdot:
- Translaatioehto kun kappale on tasapainossa etenemisen suhteen.
- Rotaatioehto kun kappale on tasapainossa pyörimisen suhteen.
Esimerkki:
Paljonko pitäis olla ruukun massa?
Yksinkertaiset mekaniikan koneetYksinkertaisilla mekaniikan koneilla voidaan muuttaa voiman suuruutta ja suuntaa. Näitä ovat mm. Kalteva taso, se mikä voimassa voitetaan se matkassa menetetään Vipu, jolla voidaan siirtää kuormia (yksi- ja kaksivartiset). Väkipyörä, josta kiinteä väkipyörä muuttaa voiman suuntaa ja liikkuvien pyörien avulla voidaan voiman suuntaa muuttaa. Vintturi, jossa on kaksi saman akselin ympäri pyörivää rumpua ja kampi.
VipuKuormaa siirrettäessä vipuun kohdistuu kaksi voimaa F1 ja F2. Yksivartisessa vivussa voimat ovat samalla puolella ja kaksivartisessa vivussa voimat ovat eripuolilla.
VäkipyöräKiinteä väkipyörä muuttaa voiman suuntaa mutta ei suuruutta, kun taas liikkvuilla pyörillä saadaan kuorman nostamiseen tarvittavaa voimaa pienennettyä. W = Fzs = FLh.
Kuorma kevenee lenkkien mukaan seuraavanlaisesti:
- Vedetään 100N punnusta 100:lla N:llä.
- Vedetään samaa punnusta mutta riittää vaan 50N ja seuraavassa kolmeen osaan ja seuraava neljäsosaan.
Vintturissa on kaksi saman akselin päällä kaksi rumpua tai kampea. Tasapainoehto määräytyy joko energiaperiaatteella tai vipuna. F2r2 = F1r1
Hauislihas esimerkki:
Eli tässä olisi nyt se haulis. Siinä on punnus, johon vaikuttaa painovoima F, sekä kyynärvarren oma paino G. Käsivarsi pysyy vaakasuorassa hauislihaksen FL avulla. Mikä olisi hauiksen voima eli jos se kuvitellaan naruksi, niin T-voima?
F1r1 + Gr½ = FL
F1r1 + Gr½ - FL = 0
siitä lasketaan FL voima
Pääkallo esimerkki:
Pääkallo on kiinnittyneenä selkärankaan kallonpohjasta, niin tämä alue aiheuttaa sen että se on kaksivartinen vipu. Tässä kysytään että kuinka suurella voimalla niskalihakset jännittää jotta pää pysyy tasapainossa?
FL r1 = G r2
PainopistePainovoima voidaan ajatella kohdistuvan yhteen pisteeseen kappaleessa, eli painopiste tai massakeskipiste. Painopisteestä tuettu kappale on tasapainossa ja vapaasti liikkuva kappale pyörii painopisteensä ympäri (homogeenisessa kappaleessa symmetriakeskipisteessä). Jos on epäsymmetrinen kappale, niin painopistettä lähdetään määrittämään jakamalla kappale osiin ja laatimalla sopiva koordinaatisto, joihin voidaan laittaa osien painopisteet. Näistä yhteensä voidaan määrittää missä painpiste on. Esimerkiksi jos kolme kappaletta on asetettu xy-koordinaatistoon seuraavanlaisesti : A=5kg (0,0m ja 0,0m) B=2kg (2,0m ja 4,0m) sekä C=5kg (4,0m ja 0,0m) niin missä on painopisteen sijainti?
Ratkaisu: lasketaan x:n suhteen kertomalla kaikki koordinaatit massalla ja jakamalla yhteismassalla. Sen jälkeen y:n suhteen sama. Saadaan painopisteen koordinaatit:
TasapainolajitStabili tasapaino on vakaa ja stabiilia jossa potentiaalienergia pienimmillään. Kun kappaletta poikkeutetaan niin se palaa tasapainoasemaan. Kuin taas labiilissa tasapainossa on horjuva tasapaino, jossa potentiaalienergia on suurimmillaan ja jos kappaletta poikkeutetaan tasapainostaan, niin se lähtee etääntymään eikä palaa .
Lisäksi on indifferentti tasapaino eli epämääräinen tasapaino, jossa potentiaalienergia ei muutu, kun kappaletta poikkeutetaan tasapainoasemastaan.
KulmasuureetKiertokulma
Kaaren pituuden suhde säteeteen yksikkönään radiaani [ φ ] = rad eli 1 rad on sellainen kulma jonka vastaava kaari on säteen mittainen.
Keskikulmanopeus
Kiertokulman muutosnopeus on kulmanopeus [ω]=rad/s ja se vastaa liikkeen nopeutta v. Pyörimisliike on tasaista jos kulmanopeus on vakio.
Kierrosten lukumääräPyörimisen nopeutta usein ilmaistaan tällä yksiköllä eli tietty lukumäärää ajassa. Sanotaan myös kierrostaajuudeksi, pyörimistaajuudeksi tai kierrosnopeudeksi n.
Kulmanopeus
Kulmakiihtyvyys
Mikäli kulmanopeus ei ole vakio, niin pyörimisellä on tällöin kiihtyvyyttä. Kulmakiihtyvyys 𝛼 vastaa kiihtyvyyttä a ja pyörimisliike on tasaisesti kiihtyvää jos kulmakiihtyvyys on vakio.
Elikä se menisi niin että rataa pitkin kuljettu matka saadaan kun muistetaan että s=vt, mut vt:n tilalle laitetaan fii*r. Eli muista kaava fii = s(kehämatka) / r(säde). Ratanopeus saadaan sijoittamalla v=s/t yhtälöön edellisessä veivattu fii*r. Kun muistat että kulmanopeus omega on fii/t:lle niin t:t supistuu pois ja jää v=ɷr. Ja tangentiaalinen kiihtyvyys alla.
Etenemisliikessä voima aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen, kuin taas pyörimisliikkeessä momentti aiheuttaa liiketilan muutoksen. Eli näitä kinematiikan suureita tarkasteltaiessa ne vastaavat toisiaan seuraavasti: matka s = kiertokulma ᵠ, nopeus v = ω ja kiihtyvyys a=α. Kun taas dynamiikassa voimaa F vastaa momentti M ja massaa m vastaa hitausmomentti J. Massa on suure joka kuvastaa liikkeen hitautta vastustavaa ominaisuutta. Hitausmomentti on suure joka kuvastaa pyörimisen hitautta eli pyörimistä vastustavaa ominaisuutta.
Eli edellinen oli tangentiaalista kiihtyvyyttä, mutta lisäksi pitää tietää pyörimisliikkeen kiihtyvyys eli NORMAALIkiihtyvyys ja siihen vaikuttava voima, jolla kiihtyvyyttä kasvatetaan.
Tasainen ympyräliike
Tasainen kiihtyvä ympyräliike
OPETTELE ed NÄMÄ ULKOA
Kokonaiskiihtyvyys on tangenttikiihtyvyyden ja normaalikiihtyvyyden vektroi summa eli Phytagoraan lause ja yllätys yllätys suunta saadaan tangentilla
Hitausmomentti
Eli massa jaetaan osiin ja jokainen niistä kerrotaan pyörimisakselista mitatulla säteen nelilöllä ja nämä summataan. Yksikkönä kgm^2. Eli hitausmomentti huomioi massan lisäksi myös etäisyyden. Hitausmomentin suuruus riippuu pyörimisakselin paikasta.
Hitausmomentteja lasketaan erilailla erilaisille kappaleille esim:
Steinerin sääntö
Steinerin sääntö on yhdensuuntaisten akselien teoreema. Olkoon kappaleen (massa m) hitausmomentti painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen J0. Tällöin voidaan laskea hitausmomentti J minkä tahansa akselin suhteen mikä on yhdensuuntainen tämän painopisteen kautta kulkevan akselin kanssa, kaavalla.
Esimerkki Steinerin säännöstä:
Tunnetaan sauvan (pituus l) hitausmomentti sen pyöriessä painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen. TEE TÄMÄ ESIMERKKI OPEN VIDEOISTA
Pyörimisen liikeyhtälö, voima ja momentin tekemä työEtenevässä liikkeessä voima F antaa kappaleelle lineaarisen kiihtyvyyden a Newton II mukaan. Pyörimisliikkeessä vastaavasti momentti antaa pyörivälle kappaleelle kulmakiihtyvyyden alfa. Kun jäykkä kappale pyörii vääntömomentin vaikutuksesta, niin
momenttien summa on kappaleen hitausmomentti J kertaa kulmakiihtyvyys eli ja liike-ener
gia on.
Voiman F tekemä työ kappaleen matkalla s. joka jatkuu että momentin M tekemä työ eli
Teho P tasaisessa pyörimisliikkeessä on
Suoraviivaisen ja ympyräliikkeen yhteys taulukot:
Eli matkaa s vastaa kiertokulma fii jne..
Tehtävä jarrusatula painaa pyörää
Yhteenveto liikkeistä
GravitaatioEtäisyydellä r olevat massa m vetävät toisiaan puoleensa voimalla F, joka on suoraan verrannollinen massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.
Gravitaatiolaki:
Jos kappale, joka on maanpinnalla, niin siihen vaikuttava gravitaatiovoima on painovoiman suuruinen.
Potentiaali energia määritellään perustutulla kaavalla mgh, mutta mitä jos tarkkaa putoamiskiihtyvyyden arvoa ei ole, niin sitten pitää käyttääkkin seuraavanlaista kaavaa:
, jossa potentiaalienergian nollataso on äärettömän kaukana maasta ja kun liikutaan maasta poispäin, niin gravitaation potentiaalienergia kasvaa. Eli laskut kuuluu tällä tavalla, että jos siirretään kappale yhdestä korkeudesta toiseen korkeuteen, niin paljonko sen potentiaalienergia kasvaa:
HeittoliikePystysuora heittoliike
Tälläisessä heittoliikkeessä kappale on kokoajan tasaisesti muuttuvassa liikkeessä kiihtyvyytenä putoamiskiihtyvyys. Valitaan negatiivinen suunta alaspäin. Muista energiaperiaate.
Vino heittoliike
Jaetaan vaakasuuntaiseen tasaiseen liikkeeseen joka on vakio (v) ja pystysuuntaiseen muuttuvaan liikkeeseen, jonka kiihtyvyyttä säätelee painovoima (a=g).
